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RÉSUMÉ. Cet article synoptique est consacré à l'expansion asymptotique topologique. L'objectif est de présenter les techniques classiques, leurs limites, et de donner deux extensions à des situations plus générales, dans le cas où les paramètres appartiennent à L1 ou lorsque la variation de l'état n'est pas petite. La méthode de l'adjoint classique est rappelée et illustrée par un exemple, ses limites sont montrées sur un cas analytique. Une première méthode adjointe généralisée est exposée et illustrée, ses limites sont montrées sur un contre-exemple. Enfin, nous présentons le cas le plus général, à savoir lorsque la dérivée du Lagrangien par rapport à l'état doit également être prise en compte. Ce dernier cas est illustrée par des résultats théoriques et numériques pour l'équation de Poisson.
ABSTRACT. This review is devoted to the topological asymptotic expansion. The goal is to present classical techniques, their limits, and to show two extensions to more general situations, namely when the parameters belong to L1 or when the variation of the state is not small. The classical adjoint method is recalled and illustrated on an example, its limitations are shown on an analytical case. A first generalized adjoint method is then exposed and illustrated, its restrictions are shown on a counterexample. Finally, we present the more general case, namely when the derivative of the Lagrangian with respect to the state needs also to be taken into account. This last case is illustrated with theoretical and numerical results for the Poisson equation.
MOTS-CLÉS :Sensibilité topologique, optimisation de forme, problème inverse, opérateur de Lagrange,méthodes ajointes
KEYWORDS: Topological sensitivity, shape optimization, inverse problem, Lagrange operator, adjoint methods
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présentation