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RÉSUMÉ.

On considère les systèmes lents-rapides appartenant à un petit voisinage d’un problème non perturbé. On étudie le cas général où l’équation lente admet un sous-ensemble compact positivement invariant qui soit asymptotiquement stable tandis que l’équation rapide a des équilibres asymptotiquement stables (théorie de Tykhonov) ou des cycles limites stables (théorie de Pontryagin). La description des solutions est de ce fait donnée sur des intervalles de temps infinis. On examine les problèmes de stabilité découlant de ces résultats en introduisant la notion de stabilité pratique. On montre que certains sous-ensembles de l’espace de phases des systèmes singulièrement perturbés se comportent comme des ensembles asymptotiquement stables. Les résultats sont formulés classiquement mais sont démontrés dans le cadre de la théorie IST, une approche axiomatique de l’Analyse Non Standard.

ABSTRACT.

We consider the slow and fast systems that belong to a small neighborhood of an unperturbed problem. We study the general case where the slow equation has a compact positively invariant subset which is asymptotically stable, and meanwhile the fast equation has asymptotically stable equilibria (Tykhonov’s theory) or asymptotically stable periodic orbits (Pontryagin–Rodygin’s theory). The description of the solutions is by this way given on infinite time interval. We investigate the stability problems derived from this results by introducing the notion of practical asymptotic stability. We show that some particular subsets of the phase space of the singularly perturbed systems behave like asymptotically stable sets. Our results are formulated in classical mathematics. They are proved within Internal Set Theory which is an axiomatic approach to Nonstandard Analysis.

MOTS-CLÉS : ensembles invariants, stabilité asymptotique pratique, perturbations singulières, analyse non standard

KEYWORDS : invariant sets, practical asymptotic stability, singular perturbations, nonstandard analysis