RÉSUMÉ.
Nous considérons ici un modèle mathématique SIL de transmission directe de la maladie
dans une population hôte structurée en âge; prenant en compte les processus démographiques et
la transmission verticale de la maladie. Premièrement, nous étudions le caractère bien posé du problème
par la théorie des semi-groupes. Ensuite, nous montrons que le taux de reproduction de base
R0 est le rayon spectral d’un opérateur positif; et un équilibre endémique existe si et seulement si R0
est supérieur à l’unité, tandis que l’équilibre sans maladie est localement asymptotiquement stable si
R0<1. Nous établissons aussi l’existence d’une bifurcation de l’équilibre sans maladie quand R0
passe par l’unité. Enfin, nous donnons des conditions nécessaires pour la stabilité locale de l’équilibre
endémique.
ABSTRACT.
We consider a mathematical SIL model for the spread of a directly transmitted infectious
disease in an age-structured population; taking into account the demographic process and the vertical
transmission of the disease. First we establish the mathematical well-posedness of the time evolution
problem by using the semigroup approach. Next we prove that the basic reproduction ratio R0 is
given as the spectral radius of a positive operator, and an endemic state exist if and only if the basic
reproduction ratio R0 is greater than unity, while the disease-free equilibrium is locally asymptotically
stable if R0<1. We also show that the endemic steady states are forwardly bifurcated from the
disease-free steady state when R0 cross the unity. Finally we examine the conditions for the local
stability of the endemic steady states.
MOTS-CLÉS :
Modèle structuré en âge, Semigroup, Taux de reproduction de base, Stabilité.
KEYWORDS:
Age-structured model, Semigroup, Basic reproduction ratio, Stability.
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