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RÉSUMÉ.
On considère des équations aux différences dans le plan complexe
de la forme \(y(x+\epsilon) - y(x) = \epsilon f(y(x))/y(x)\).
Le pas de discrétisation \(\epsilon > 0\) est un petit paramètre, et
l'équation a une singularité en \(y = 0\). On décrit les solutions
près de la singularité en utilisant des développements asymptotiques
combinés. Plus précisément, on montre que la dérivée \(v'\) de
la fonction réciproque (appelée coordonnée de Fatou) \(v\) d'une solution
admet un développement asymptotique Gevrey en puissances de la racine
carrée de \(\epsilon\), notée \(\eta\), et faisant intervenir des fonctions de
\(y\) et de \(Y = y/\eta\). On obtient également des développements asymptotiques
Gevrey des invariants d'Écalle-Voronin de l'équation, qui sont des
fonctions de \(\epsilon\). Une application venant de la théorie de l'itération
complexe est présentée.
ABSTRACT.
Difference equations in the complex domain of the form
\(y(x+\epsilon) - y(x) = \epsilon f(y(x))/y(x)\)
are considered. The step size \(\epsilon > 0\) is a small parameter,
and the equation has a singularity at \(y = 0\). Solutions near the
singularity are described using composite asymptotic expansions.
More precisely, it is shown that the derivative \(v'\) of the inverse
function \(v\) of a solution (the so-called Fatou coordinate) admits
a Gevrey asymptotic expansion in powers of the square root of \(\epsilon\),
denoted by \(\eta\), involving functions of \(y\) and of \(Y = y/\eta\).
This also yields Gevrey asymptotic expansions of the so-called
Écalle-Voronin invariants of the equation which are functions of
epsilon. An application coming from the theory of complex iteration
is presented.
MOTS-CLÉS :
Équation aux différences à petit pas,
développement asymptotique combiné, asymptotique Gevrey,
coordonnée de Fatou, invariant d'Écalle-Voronin.
KEYWORDS:
Difference equation with small step size, composite asymptotic expansion,
Gevrey asymptotic, Fatou coordinate, Écalle-Voronin invariant.
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présentation